1.前言

        在《什么是 PID 控制》一文中，PID 控制的算法是如何工作的，我们以驾驶汽车为例进行了解说。在本文中我们利用数学公式进一步解说 PID 控制是如何工作的。

2.PID 控制和温度控制

        所谓控制就是为了达成某个目的对控对象施加的操作。对温度控制来说就是，为了使测量点的温度与目标值相同对控制对象施加的操作（图 1）。图中的虚线部分是温度控制器的功能框图，控制部 C 相当于 PID 控制算法。

2.1.PID 控制的基本公式

        PID 控制的基本公式是，与偏差 e（=SV-PV）成比例的比例动作（Proportional action：P 动作），与偏差的积分成比例的积分动作（Integral action：I 动作）和与偏差的微分成比例的微分动作（Derivative action：D 动作）的和（式（1））。

        上式中有 3 个参数可以设置，分别是比例增益（Kp），积分时间（Ti）和微分时间（Td）。但是在温度控制器中不能直接设置比例增益，通常是用比例增益（Kp）的倒数比例带 Pb=100/Kp[℃]或者[%]来设置。式（1）右边分别是比例项（P 动作输出），积分项（I 动作输出）和微分项（D 动作输出）。

2.2.PID 控制算法的含义

        人们在判断事物时，会考虑“过去”，“现在”和“将来”这三个要素对事物的影响之后，做出结论。PID 控制算法也可以这样解释，“过去→I 动作”，“现在→P 动作”和“将来→D 动作”。

2.3. P 动作和稳定偏差

2.3.1. P 动作

        P 动作如式（2）所示，其输出值与现在的偏差 e 成比例。

        如果增大比例增益 Kp 的话，对同样的偏差 e，P 动作输出也会增大。但实际上受物理上的限制，操作量 MV只能在 0～100[%]的范围内变化。比如比例带 Pb=30[℃]，目标值 SV=100[℃]，测量值 PV=40[℃]时，

        操作量 MV 计算值是 200[%]，实际上只能输出 100[%]（图 2（a））。

        P 动作的问题是稳定后会出现稳定偏差（图 2（a））。增加 Kp 的话，稳定偏差会减小，但是 PV 会出现振动，甚至持续振动。如果设置的 Kp 不出现振动的话，那必定会出现稳定偏差，这就是 P 动作的极限。

2.3.2. 温度偏差

        偏差 e 为 0 时 P 动作输出为 0。这就是只有 P 动作的控制会产生稳定偏差的原因。例如对图 2（b）所示负载特性的控制对象，为了使 PV 安定在 SV=100[℃]上需要提供 50[%]的 MV。
        ①开始时 PV 等于周围温度（比如 25[℃]），因为低于目标值，所以 P 动作输出为 100[%]（输出上限值）。
        ②当 PV 进入比例带后 P 动作输出与偏差 e 成正比。PV 越接近 SV 则 P 动作输出越小。
        ③当 PV≥SV（100[℃]）时，P 动作输出为 0[%]（输出下限值）。PV 开始减小。
        ④最终 PV 稳定在 P 动作输出和负载特性的平衡点。此时目标值和平衡点之间的偏差称为稳定偏差。
        为了消除稳定偏差，需要在式（2）增加手动复位 50[%],或者增加 I 动作。
        （*1）负载特性定义为稳定（热平衡）状态温度和负载通电率[%]的关系。

2.4. PI 动作和积分时间

        在式（2）中添加 I 动作输出，成为 PI 动作的公式（3）。

        因为 I 动作是过去偏差 e 的累加值，如果（e＞0）的话则不断增加，（e＜0）则不断减小。I 动作输出的初始值设置为 0，偏差一定时，在 t1 时刻 P 动作输出和 I 动作输出用下式表示。

        比较二式，可以看到当 t1=Ti 时 I 动作输出等于 P 动作输出。从恒定的偏差输入开始时刻到 I 动作输出等于P 动作输出为止的时间被称为积分时间 Ti。P 动作是与偏差成正比的输出，而 I 动作是直到偏差 e 变成 0 为止输出不断增加（或者减少）。为此，即使收敛速度因积分时间 Ti 不同，最终稳定偏差也会变成 0。重要的是，即使偏差 e 变成 0，先前累加的积分值继续输出。利用 I 动作输出可以得到与手动设置同样效果的自动复位。

2.5.PD 动作和微分

        在式（2）上添加偏差 e 的微分（变化速度）D 动作输出，成为 PD 动作的公式（5）。

        D 动作是与偏差 e 的微分值（变化速度）成比例的输出，抑制未来偏差的速度变化。D 动作产生与变化速度相反的阻力，因此将其称为阻尼器。阻尼器又被称为减震器（衰减振动的装置），是构成汽车和摩托车悬架的部件之一。汽车没有阻尼器的话运行时车体就会振动，乘坐质量变差。D 动作在温度控制中同样有衰减振动的功能。
比如，稳定在 SV 的温度 PV 由于干扰突然降低（de/dt > 0）时，则 D 动作输出一个正方向值抑制干扰引起的变化。另外，升温时（de/dt < 0），D 动作输出一个负方向值抑制过热（超调）。偏差以恒定速度增加时（图4），D 动作输出为恒定值。当偏差为恒定值（变化速度为零）时 D 动作输出为零，不能消除稳定偏差。

        另外，微分时间 Td 被定义为，斜坡形偏差（以恒定斜率变化的偏差）的 P 动作输出 = D 动作输出时的时间。

3.结语

        我们使用数学公式解说了 PID 的各个基本动作。实际上的控制还需要一些创意工夫，希望本文对您理解 PID控制有帮助。

以上

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