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传感器的响应与温差之谜

1.传感器的响应

传感器的响应，通常用到达最终稳定温度90%（或者95%，99%等）所需时间来表示，称为响应时间。例如弊社ST-50的传感器响应时间为0.08秒。
响应时间类似于时间常数，与温度的变化量无关，通常由传感器的形状，物理特性和加热·放热环境决定。
所谓温度的变化量，比如初始温度是25℃，最终温度是100℃的话，变化量就是75℃。如果最终温度是30℃的话，变化量就是5℃。
即使最终温度不同传感器的响应时间也是一样的。就是说，传感器温度上升75℃需要的时间和上升5℃需要的时间是一样的。这样说可能有人会觉得奇怪。
这是因为他混同了①水温温度上升和②传感器温度上升的概念。①是指以一定火力加热水时，水温不断上升。②是指传感器插入一定温度的水中之后传感器温度的上升。

下面我们解说这两种温度上升的区别。

2.温度上升的原理

①传感器插入水中之后以一定火力加热水时的温度上升
②传感器插入一定温度的水中之后传感器温度上升

①传感器插入水中之后以一定火力加热水时的温度上升

将传感器插入25℃的水中以一定火力加热水时，为了简化问题我们做3点假设。
·全部火力都用于水和传感器上，没有失散到环境。
·水均匀受热没有温差。
·水和传感器的温度同步变化。
加热火力为P[W]，水的热容量为Cw[J/℃]时，每单位时间水的温度上升ΔTw[℃/s]为

热容量Cw是水的比热和质量的积，表示温度变化的难易程度。

如果用火力P持续加热t秒后，水的温度Tw(t)[℃]为

Tw0[℃]为水的初始温度，代入式（1），

从上式和图形可以看到温度上升和升温时间成比例关系。例如水温度上升25[℃]需要25秒的话，那么上升50[℃]就需要50秒。这是在一定火力持续加热水时的温度上升，是与热容量的倒数成比例的直线变化。
*实际上由于热量向环境失散，温度上升不是直线变化，而会逐渐变缓。

②将传感器插入一定温度的水中时传感器温度上升

下面考虑传感器插入一定温度水中时传感器的温度变化。在此我们做以下假设。
·水温均匀并且不变，不会因为插入传感器或者时间经过发生变化。
另外，在①中我们假设水和传感器的温度同步变化，在此我们考虑的是水加热传感器导致传感器自身温度上升，要点是水和传感器之间存在温差。在这种场合下传感器温度的变化，是根据热从高温向低温物体移动的定律来说明。

如上图所示，存在温差的物体接触时每单位时间热的移动量Pw[W]为

其中：Tw [℃]是水的温度，Ts[℃]是传感器的温度
热电阻R[℃/W]表示热传导的难易程度，由水和传感器的物性，接触条件等决定。
另外，“单位时间热的移动量”在传热领域被称为“热流量”。
从上式中我们可以知道热流量Pw与水和传感器的温差成正比。
在此水的温度Tw是一定的，传感器的温度时刻在变化，因此热流量Pw与之相应地变化。

具体如下图所示，传感器插入水中瞬间温差最大，热流量也大，但是随着传感器温度的上升，热流量不断减小。当传感器温度和水温相等时(Ts=Tw)热移动停止(Pw=0)，传感器温度稳定。

与前述的①一定火力加热（P是常数）相比最大的不同是Pw随时间变化。
时间t时传感器温度Ts(t)，根据式（1）和式（2）的关系可以表示为微分方程式的形式。

其中， Pw(t)[W]为热流量，Cs[W/℃]为传感器热容量。求解后我们可以得到，

其中，Ts0[℃]为传感器初始温度。

从上式可知，②的传感器温度上升为初始值Ts0，稳定值Tw的与时定数RCs的函数关系。
在决定传感器温度响应的时定数RCs当中不包含温度，因此响应时间与初始温度和温度的变化量无关保持一定。在此，时定数中包含的Cs是由传感器的热容量，传感器材料，形状决定的，R是传感器和水之间的热电阻，根据接触条件的不同会导致热电阻有非常大的变化。
传感器的插入深度过浅，和测量对象之间的间隙都会导致热电阻发生大幅变化，响应特性变坏。另外，需要注意的是，如果传感器和测量对象之间的热电阻过大的话，就不能得到正确测量温度。

微分方程式推导的补足说明
从式（1）